Definição da circunferência

Considerando um ponto C de um plano (centro) e uma medida r não nula (raio), definimos circunferência o conjunto dos pontos do plano que distanciam r do ponto C.

Equações

Num sistema de coordenadas cartesianas uma circunferência pode ser descrita pela equação:

Na qual e são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio. Caso a circunferência tenha o centro sobre a origem do plano cartesiano, a equação pode ser reduzida a:

Também é possível descrever uma circunferência através de equações paramétricas usando funções trigonométricas:

Neste caso, é a variável paramétrica, variando entre e radianos.

Na geometria analítica, pode ser representada através de uma equação da forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, com coeficientes reais. Sendo que "A" deve ser igual a "B" e diferente de zero e "C" deve ser igual a zero. O raio da circunferência é obtido através da relação: .

Perímetro

A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro  pode ser calculado através da equação:

Onde é o diâmetro da circunferência, ou seja, o dobro do raio:

Também temos que é a constante, cujo valor é

 = 3,14...

Definição de Circulo

Circulo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

Elementos: Raio, Corda e Diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Ângulo Inscrito

Em Geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.
Tipicamente, é mais fácil pensar um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

Demonstrações

Veja algumas demonstrações abaixo:
Ângulos inscritos em que uma das cordas é o diâmetro

Seja O centro do círculo. Sejam V e A pontos do círculo. Desenhe a reta VO e estenda além de O tal que intersecte o círculo no ponto B formando o diâmetro. Desenhe um ângulo cujo vértice é o ponto V e cujos lados passem pelos pontos A e B.
O ângulo BOA é o ângulo central que chamaremos de θ. Desenhe a reta OA. Tanto a reta OV quanto OA são raios do círculo, então possuem o mesmo comprimento. Portanto o triângulo VOA é isósceles, então o ângulo BVA (ângulo inscrito) e o ângulo VAO são iguais; seja cada um dele denotado como ψ.
Os ângulos BOA e AOV são ângulos suplementares e somam 180°, pois o ângulo VOB é raso. Então AOV mede 180° − θ.
Sabe-se que a soma de três ângulos de um triângulo somam 180°, e os três ângulos de VOA são:

180° − θ

ψ

ψ.

Portanto

Subtraindo 180° dos dois lados teremos,

 Cqd

Ângulo Central

Ângulo AOB forma um ângulo central do círculo O

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro de um círculo e cujos lados passam um par de pontos sobre o círculo, o que subtende um arco entre esses dois pontos cujo ângulo é (por definição) igual ao ângulo central de cada um mesmo. É também conhecido como o arco do segmentos distância angular.

Exemplos: