Definição da circunferência

Considerando um ponto C de um plano (centro) e uma medida r não nula (raio), definimos circunferência o conjunto dos pontos do plano que distanciam r do ponto C.

Equações

Num sistema de coordenadas cartesianas uma circunferência pode ser descrita pela equação:

Na qual e são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio. Caso a circunferência tenha o centro sobre a origem do plano cartesiano, a equação pode ser reduzida a:

Também é possível descrever uma circunferência através de equações paramétricas usando funções trigonométricas:

Neste caso, é a variável paramétrica, variando entre e radianos.

Na geometria analítica, pode ser representada através de uma equação da forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, com coeficientes reais. Sendo que "A" deve ser igual a "B" e diferente de zero e "C" deve ser igual a zero. O raio da circunferência é obtido através da relação: .

Perímetro

A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro  pode ser calculado através da equação:

Onde é o diâmetro da circunferência, ou seja, o dobro do raio:

Também temos que é a constante, cujo valor é

 = 3,14...

Definição de Circulo

Circulo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

Elementos: Raio, Corda e Diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Ângulo Inscrito

Em Geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.
Tipicamente, é mais fácil pensar um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

Demonstrações

Veja algumas demonstrações abaixo:
Ângulos inscritos em que uma das cordas é o diâmetro

Seja O centro do círculo. Sejam V e A pontos do círculo. Desenhe a reta VO e estenda além de O tal que intersecte o círculo no ponto B formando o diâmetro. Desenhe um ângulo cujo vértice é o ponto V e cujos lados passem pelos pontos A e B.
O ângulo BOA é o ângulo central que chamaremos de θ. Desenhe a reta OA. Tanto a reta OV quanto OA são raios do círculo, então possuem o mesmo comprimento. Portanto o triângulo VOA é isósceles, então o ângulo BVA (ângulo inscrito) e o ângulo VAO são iguais; seja cada um dele denotado como ψ.
Os ângulos BOA e AOV são ângulos suplementares e somam 180°, pois o ângulo VOB é raso. Então AOV mede 180° − θ.
Sabe-se que a soma de três ângulos de um triângulo somam 180°, e os três ângulos de VOA são:

180° − θ

ψ

ψ.

Portanto

Subtraindo 180° dos dois lados teremos,

 Cqd

Ângulo Central

Ângulo AOB forma um ângulo central do círculo O

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro de um círculo e cujos lados passam um par de pontos sobre o círculo, o que subtende um arco entre esses dois pontos cujo ângulo é (por definição) igual ao ângulo central de cada um mesmo. É também conhecido como o arco do segmentos distância angular.

Exemplos:

videos e curiosidades .

O que é circunferência ? O vídeo aula te explica . 

                  
* Curiosidade : Porque a circunferência tem 360º ? Não se sabe ao certo o motivo pelo qual se estabeleceu que a circunferência seria dividida em 360º graus. Existem pelo menos duas possibilidades. Na primeira delas, o número teria sido estabelecido por uma civilização que acreditava ser a terra o centro do universo e cujo calendário teria 360 dias de acordo com a suposta a civilização, o sol caminharia, então, um grau por dia, totalizando 360 graus de circunferência. Outra possibilidade é a de que os babilônios usavam 60 como base para seus cálculos. Por esse motivo os gregos teriam dividido o raio do circulo em 60 partes. Como já seria conhecido que o comprimento da circunferência equivaleria a 2.Pi.r- duas vezes Pi vezes o raio- e que Pi valia aproximadamente 3, então teria se estabelecido que a circunferênca teria 360 graus ( 2 x 3 x 60 = 360).

                                               

* کوریوسیداده : Entre os anos de 180 e 125 ªC., viveu na Grécia um matemático que se tornaria famoso: Hiparco de Nicéia. Assim como a maioria dos matemáticos de sua época, Hiparco era fortemente influenciado pela matemática da Babilônia.

Como os babilônios, ele também acreditava que a melhor base para realizar contagens era a base 60. Os babilônios não haviam escolhido a base 60 por acaso. O número 60 tem muitos divisores – 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 – e pode ser facilmente decomposto num produto de fatores, o que facilita muito os cálculos, principalmente as divisões.
Foi por essa mesma razão que, ao dividir a circunferência, Hiparco escolheu um múltiplo de 60: Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida recebeu o nome de arco de 1 grau. Cada arco de 1 grau foi dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebeu o nome de arco de 1 minuto. Cada arco de 1 minuto também foi dividido em 60 arcos de 1 segundo.
1 minuto = 1´
1 segundo = 1´´
Com a circunferência de 360º, ficou fácil criar uma unidade de medida para os ângulos:
a) ângulo de 1º é um ângulo que determina um arco de 1º em qualquer circunferência com centro no vértice desse ângulo;
b) ângulo de 90º é um ângulo que determina um arco de 90º em qualquer circunferência com centro no vértice desse ângulo.